8 sept. 2017

Historia de tres fractales: Sierpinski, Cantor y Koch

Hace unos meses, os presenté al triángulo de Sierpiński, uno de los fractales más famosos por su omnipresencia y simplicidad. De su mano, podemos seguir embarcándonos en el sorprendente universo fractal, ya que el triángulo nos conduce de manera natural a la alfombra de Sierpiński, el conjunto de Cantor y el copo de nieve de Koch.

¿Recordáis que uno de los métodos que utilizamos para obtener el triángulo de Sierpiński consistía en tomar una figura, triplicarla y colocar los tres clones triangularmente?


Cabe preguntarse qué pasaría si, en lugar de tres, hacemos ocho clones (ocho, porque queremos conseguir un cuadrado 3x3 con un hueco en el medio) y los disponemos cuadrangularmente. Como el producto es la figura más fea de la entrada, no me he molestado en animar su proceso de formación, así que aprovechadlo como un entrenamiento de la imaginación:

Respira hondo. Visualiza un cuadrado. Es tu cuadrado. El cuadrado puede ser del color que tú quieras. Contempla el cuadrado. 

Inspira. Ahora imagina ocho copias de tu cuadrado. Están colocadas formando un cuadrado más grande, con el triple de lado que tu cuadrado, y con un hueco en el medio (necesitarías nueve cuadrados pequeños para formar el grande, y sólo tienes ocho).

Espira. Concéntrate y visualiza ocho copias de ese cuadrado hueco. Disponlas formando otro cuadrado hueco mayor. Observa que cada vez hay más agujeros.

Inspira y repite estos dos últimos pasos hasta alcanzar la iluminación. 



El resultado final de nuestra meditación guiada: el cuadrado de Sierpiński, también conocido con el apasionante nombre de alfombra de Sierpiński.

 El lector preguntará (con razón, como siempre) por qué presento una figura que considero "fea" en la entrada: es una excusa genial para hablar de un fractal casi irrepresentable pero precioso, el conjunto de Cantor. Si tomamos un segmento que una los puntos medios de dos lados paralelos del cuadrado de Sierpiński, obtendremos un segmento fractal, idéntico al que conseguiríamos si quitáramos el tercio central de un segmento, luego el tercio central de los dos segmentitos resultantes,...

Dicho de palabra suena más chungo, este es el segmento que estamos seleccionando.
He aquí el proceso (iteración) de ir quitando el tercio central. También se ve más claro visualmente.
El contexto histórico en el que Cantor describió su fractal es muy interesante, pero hoy los fractales monopolizan la entrada. Contempladlo en todo su esplendor:

El fractal que emocionó a Benoît Mandelbrot.

No, no hace falta que subas el brillo.
Está formado por puntos disconexos, es normal que no veas nada porque, con cada iteración, el fractal desaparece más y más. Sin embargo, está compuesto por infinitos puntos y podemos expresarlos todos con una sencilla regla: si consideramos (por simplicidad, tal y como hizo originalmente Cantor) que está colocado en el intervalo [0,1] de la recta real (el extremo izquierdo sería el 0 y el derecho, el 1); pertenecen al conjunto todos lo puntos que tengan una representación en base 3 en la que no aparezca el número 1. Si lo piensas, ésto capta perfectamente su esencia: tiene sentido usar base 3 porque cada iteración divide a cada segmentito en tres partes; y tiene sentido que no aparezca el número 1 porque es el correspondiente al tercio central, que eliminamos.

Otra característica brutal del conjunto es que no es numerable: aunque tuvieras todo el tiempo del mundo, nunca acabarías una lista de sus miembros. La demostración (una de las más sencillas y elegantes que conozco) la tenéis en la completísima entrada de Wikipedia en inglés.

Y hasta aquí lo complicado.
Tengo el remordimiento de haber condensado demasiada información. Mis metas, ser escueto y a la vez profundo, son difíciles de conciliar. Como disculpa, voy a dejaros disfrutar con tranquilidad del último hermano del triángulo de Sierpiński: el copo de nieve de Koch. Hemos juntado cuadrados dejando un hueco en medio para conseguir un cuadrado sierpinskiano; ahora haremos lo mismo con hexágonos. Llegaremos (de una manera mucho menos conocida que ésta) a los maravillosos copos de nieve fractales. Y lo digo en plural, porque al representarlo de esta forma obtenemos infinitos copos a distintas escalas.




Fascinante, ¿verdad?

Sólo comentaré que con dos tamaños de estas maravillas podemos teselar el plano (serían unas baldosas muy guays), lo cual es consecuencia directa de la naturaleza hexagonal de la criatura.

Esta imagen no la he hecho yo, la he sacado de Wolfram MathWorld




 Fuentes y lectura recomendada

Weisstein, Eric W. "Koch Snowflake." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/KochSnowflake.html

 

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Smith%E2%80%93Volterra%E2%80%93Cantor_set

https://es.m.wikipedia.org/wiki/Polvo_de_Cantor

La mayoría de figuras de esta entrada las he representado con Matlab. Si queréis el código o tenéis alguna pregunta, escribidme por Twitter o correo.



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