Sierpinski: ¿Cuántos triángulos ves en esta imagen?

Si no se presentan adecuadamente, los fractales pueden parecer objetos totalmente artificiales, que no emergen de manera natural al hacerse preguntas matemáticas intuitivas. El triángulo de Sierpiński es el antídoto perfecto contra esta conclusión, debido la simplicidad con la que se representa, sus profundas propiedades y su (cuasi)omnipresencia (en el sentido de que existen numerosos algoritmos de muy diversas ramas de las matemáticas que lo producen). Por ello, es la figura idónea si queremos introducirnos en el psicodélico mundo fractal. Además, sería la forma ideal para uno de esos anuncios que preguntan ¿cuántos triángulos ves en esta imagen?

Triángulo de Sierpinski obtenido con el código de Matlab que comparto más abajo.

La facilidad de representación del triángulo se basa en que la iteración (acción que ejecutamos repetidamente para conseguir algo) que hemos de realizar es muy simple:

1.  Imagina un triángulo (equilátero, por simplicidad) de cartulina negra.
2. Haz tres cortes que unan los puntos medios de los lados (sin cortar del todo en los extremos, para que no se separe ningún trozo de la cartulina), de manera que obtengas la forma 1 de la imagen de abajo.
3. Repite el paso 2 con los tres triangulitos pequeños que has obtenido (quedará como la figura 2).
4. Repite el paso 2 sucesivamente (en todos los triangulitos que vayas obteniendo)

Primeras iteraciones del algoritmo de obtención del triángulo de Sierpinski por sustracción de triángulos. Sacado [sin permiso, como siempre] de http://fractalfoundation.org/OFC/OFC-2-1.html

¿Qué forma te quedaría si repites el paso 4 indefinidamente? Sí, como sospechabas, el triángulo de Sierpinski. ¿Cómo podemos dibujarlo entonces, siendo necesarios infinitos pasos? La verdad es que no podemos, como tampoco podemos trazar una circunferencia perfecta. Éstas son ideas platónicas que solo existen en nuestra mente, pero es posible representarlas aproximadamente y trabajar con ellas como si fueran "las de verdad". Por eso, cuando vemos un fractal (en especial, uno con autosemejanza simple, como este triángulo), hemos de emplear nuestra imaginación para visualizar mejor su estructura y poder maravillarnos más allá de la dictadura de nuestras limitaciones técnicas y físicas.

Puede ser que no creas que una figura como ésta sea digna de una entrada, ¿qué interés tiene un triángulo infinitamente agujereado? Mucho, al menos para mí: además de ser estéticamente bello (podemos encontrarlo decorando varios suelos romanos), tiene propiedades muy interesantes. Una, común a todos los fractales, es su autosemejanza (si haces zoom continuamente en una zona del triángulo, se repetirá siempre el mismo patrón). Otra, es que tiene área nula, ya que en cada iteración sustraemos un cuarto del área restante (lo que es equivalente a decir que multiplicamos su área por 3/4). Por ello, tras infinitas iteraciones, su área es cero: $\lim_{n \to \infty} (\frac{3}{4})^n = 0$

Suelo fractal del Vaticano. [Tomado de https://es.pinterest.com/pin/411516484682135052/ ]

Sierpinski en Santa Maria in Trastevere (Roma), siglos XII y XIII [Foto de Francesco De Comité]

Además, nuestro triángulo contiene infinitos puntos, lo cual no es tan sorprendente, ya que pertenecen a él tres segmentos (sus lados) que de por sí ya contienen infinitos puntos. Esta propiedad sí que nos chocará mucho cuando hablemos de otro fractal: el conjunto de Cantor.

Pero aún no hemos tratado el aspecto más sorprendente del fractal: las numerosísimas maneras que hay de llegar a él.
A parte de eliminar área de un triángulo "macizo" como hicimos antes, podemos dibujar triángulos internos que dividan al original en 4 triangulitos iguales; o coger un triángulo, reducirlo a escala 1:4, hacer dos copias y colocarlos debajo formando un triángulo (y repetir esta acción infinitamente). Es un poco lioso, así que he hecho un GIF para que veáis claramente el proceso (aquí os dejo sólo la sucesión de imágenes porque Blogger no me deja subir gifs):

Míralo animado aquí: https://twitter.com/RadioRho/status/858665187385245697

Curiosamente, no hace falta que empecemos con un triángulo para obtener el fractal, ya que lo importante es la iteración que realicemos, no la figura de partida (piensa que, tras infinitas iteraciones, esta será simplemente un "punto" en nuestro fractal). He aquí un ejemplo:

Animación aquí: https://twitter.com/RadioRho/status/858665187385245697

Para los impasibles que todavía piensen que el triángulo no es para tanto, vamos con la traca final. Podemos obtener la figura a través de la curva arrowhead (punta de flecha), que va describiendo formas hexagonales:

Mira la animación aquí: https://twitter.com/RadioRho/status/858687881803694080
Enigma para el lector: ¿Por qué se va viendo cada vez más rojo el triángulo?
Puedes dar tu respuesta en los comentarios.

¿No es increible que una figura aparentemente bidimensional se obtenga a través de una sola curva fractal? Si tuvieras tiempo infinito, podrías dibujar el triángulo de Sierpinski sin levantar el lápiz del papel (esto sí que es un desafío y no lo de pintar una casa cutre de un solo trazo).

Otra forma computacionalmente sencilla de dibujarlo es mediante un código probabilístico (basado en el juego del caos): solo tenemos que elegir un punto P al azar de un triángulo equilátero y pintar el punto equidistante a P y uno de los tres vértices del triángulo (elegido aleatoriamente). Repitiendo este proceso (que, como ya sabes, llamamos iteración), vamos obteniendo aproximaciones cada vez mejores:

Échale un ojo a la animación: https://twitter.com/RadioRho/status/858704117425991680

Para acabar, este triángulo emerge de otro de los más famosos en matemáticas, el de Pascal, como ilustra este vídeo de Toby Langford:



Y por si aún no estás suficientemente desorientado, te dejo con este "sueño de Sierpinski" hecho por Mehrdad Garousi, en el que aparece el hermano tridimensional de nuestro querido tríangulo (la pirámide de Sierpinski) y su primo, la esponja de Menger.