Geometría esférica I: La liberación de la curva

Los ángulos de un triángulo suman 180º ¡si éste se encuentra sobre un plano!

Normalmente, obviamos la última parte de la oración. Los profanos damos por hecho que toda la geometría se desarrolla en el plano, ajenos a las geometrías elíptica, hiperbólica,... de las que aquí no vamos a hablar (más que nada, porque no tengo ni idea de ellas). El caso es que resulta muy interesante preguntarse cómo serían las figuras geométricas que conocemos si en vez de en un plano las dibujáramos en una superficie un pelín más rara, como por ejemplo, una esfera. Pero antes de ir al grano, vamos a estudiar un poco de historia para ver de dónde salen todas estas geometrías...

Euclides y sus postulados

El aspecto que más me fascina de los matemáticos es su habilidad para deducir potentes teorías a partir de principios muy simples. Estos ladrillos sólidos en torno a los que se construye la catedral biblioteca de las matemáticas se llaman axiomas o postulados. No sólo se usan en matemáticas, todas las teorías científicas parten de hechos que se toman como ciertos, que no se deducen ni se razonan. Por ejemplo, la teoría de la relatividad especial asume que las leyes físicas son iguales para cualquier observador que se mueva a velocidad constante. Si el universo no se comportara así, la teoría de Einstein no sería válida.

La geometría, cómo no, tiene también sus postulados. Los dedujo Euclides en su obra Los Elementos, que escribió hace unos 2300 años. Es importante darse cuenta de que Euclides no inventó la geometría, no dictó los postulados y a partir de ahí se construyeron todas las figuras geométricas (Tales y Pitágoras vivieron unos siglos antes que él e hicieron fuertes descubrimientos en el campo), sino que intentó clarificar la geometría del momento haciendo que toda ella se pudiera deducir de una serie de cláusulas sencillas (lo cual también tiene muchísimo mérito).

Escribió, pues, cinco postulados en los que se basa la geometría plana, que siguen siendo igual de válidos hoy (de hecho, esta geometría se conoce como euclídea en su honor):

1. Dos puntos determinan un segmento.
2. Un segmento se puede extender infinitamente dando lugar a una recta.
3. Se puede trazar una circunferencia con cualquier centro y cualquier radio.
4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
5. Por un punto exterior a una recta, sólo pasa una paralela a la misma. (Postulado de las paralelas)

A mí me parecen todos bastante básicos, pero Euclides y otros matemáticos no estaban convencidos con el quinto. En la formulación original de los postulados, el último se enuncia como "si una línea recta corta a otras dos, de tal manera que la suma de los dos ángulos interiores del mismo lado sea menor que dos rectos, las otras dos rectas se cortan, al prolongarlas, por el lado en el que están los ángulos menores que dos rectos" (no quiero alargar excesivamente la entrada, pero son muy curiosas las versiones alternativas al quinto postulado que se han ido planteando a lo largo de la historia, como "las rectas paralelas son equidistantes" o "existe un par de triángulos no congruentes, pero semejantes"). La complejidad del mismo en comparación con los otros hizo que los estudiosos se plantearan la posibilidad de deducirlo de los demás. 

Hace poco [unos 200 años, estando (cómo no) Gauss de por medio], se decidió poner punto y final al dilema y se trató de demostrar por reducción al absurdo (empiezas suponiendo falso lo que quieres probar e intentas llegar a una contradicción que indique que tiene que ser verdadero) que el postulado de las paralelas era fundamental. Así pues, se prescindió de él y se construyeron las figuras geométricas a partir de los otros cuatro. Y la conclusión fue...

La liberación de la curva

El postulado de las paralelas oprimía a las curvas, encorsetándolas en los cánones de las figuras planas e imposibilitando que algunas rectas (conocidas como paralelas por el euclídeopatriarcado) se pudieran cruzar. 

Dejando la coña a un lado (y recalcando mi admiración a Mary Wollstonecraft y el feminismo de primera y segunda ola): se concluyó que el quinto postulado era fundamental para la geometría plana y eliminándolo, se obtenían geometrías nuevas como las mencionadas anteriormente. Por tanto, en geometría esférica, no existen rectas paralelas: todas ellas se cortan entre sí.

Volvemos al triángulo en la esfera

En una esfera, definimos como rectas a los círculos máximos que se pueden trazar en ella (es decir, los círculos que tienen radio igual al de la esfera en la que los dibujamos). Un triángulo, como el que tenemos aquí abajo, está delimitado por tres segmentos de círculos máximos.

Ahora llega el momento de sorprenderse: ¡Todos los ángulos de este triángulo son rectos!

En efecto, cuando estamos sobre una esfera, toca reformular el teorema con el que empieza la entrada:

Los ángulos de un triángulo suman entre 180º y 540º si éste se encuentra sobre una esfera.

¿O sea que toda la trigonometría plana, basada en la constancia de la suma de los ángulos del triángulo es inválida para situaciones como esta? Pues no. Hay una entrada entera en Wikipedia sobre trigonometría esférica para los más interesados, pero aquí sólo voy a hablar de uno de los teoremas más asombrosos sobre triángulos en esferas, que relaciona el área del mismo ($A_{triang}$) con la suma de sus ángulos internos ($a, b, c$) y el radio de la esfera en el que está pintado ($r$):

$a+b+c=\pi + \frac{A_{triang}}{r^2}$

Esta bella expresión implica que la suma de los ángulos de un triángulo esférico (dibujado sobre una esfera de radio 1) es igual a su área más la suma de los ángulos de un triángulo plano (π radianes, que es lo mismo que 180º). 

La demostración es igual de bonita: se prueba prolongando los tres lados del triángulo, dando lugar a gajos iguales dos a dos [técnicamente. biángulos (¡sí, existen los polígonos de dos lados en geometría esférica!)] . Nos queda esto: 

Imagen tomada (sin permiso) de http://geometrias-no-euclideanas.blogspot.com.es/2007/09/parte-iii-las-geometras-esfrica-y.html Los ángulos a, b y c aquí aparecen en mayúsculas.

Si te fijas, las prolongaciones de los lados del triángulo forman otro triángulo igual en las antípodas.

Asimismo, cada par de gajos (asociados a los ángulos $a, b, c$) tiene un área igual a su ángulo en radianes por 4 veces el radio (de la esfera) al cuadrado. 

Esto se puede ver observando que el área de la esfera es 4π por su radio al cuadrado, y si el ángulo del gajo fuera π, cubriría media esfera, por lo que los dos la cubrirían entera. Haciendo una simple regla de tres obtenemos la relación anterior.

Ahora bien, las tres parejas de gajos intersecan en los dos triángulos sombreados de la figura, por lo que el área de la esfera es (denotando el área de cada elemento por $A_{elemento}$):

$A_{esfera} = A_{gajos}  - 2\cdot A_{interseccion}$ (porque si no, tendríamos en cuenta tres veces el área de los triángulos) 

$A_{gajos} = 4ar^2 + 4br^2 + 4cr^2$

$A_{interseccion} = 2A_{triang}$

$A_{esfera} = 4ar^2 + 4br^2 + 4cr^2 - 4A_{triang} = 4\pi r^2$

Sumando $4A_{triang}$ a los dos lados y dividiendo por $4r^2$, llegamos a la relación que queríamos demostrar.

La explicación es escueta por no alargar la entrada. Si quieres verlo de forma más rigurosa o no lo has entendido bien, está demostrado clarísimamente en Ciclo Límite.

¿Y todo esto para qué sirve? (pregunta el lector pragmático)

La primera respuesta es la que más me gusta dar, y consiste en que los resultados matemáticos no tienen por qué servir para nada. Un matemático se dedica a deducir consecuencias de unos determinados axiomas, y no hace falta que su trabajo tenga que ser aplicable a problemas mundanos como construir edificios muy altos o defender al país del enemigo (sin embargo, han servido en numerosísimas ocasiones para ello). Como decía el experto en teoría de números Godfrey H. Hardy (en una traducción bastante libre): 

"Nunca he hecho nada útil. Ningún descubrimiento mío ha revertido (y probablemente nunca revertirá) en el bienestar de la Humanidad."

La segunda respuesta es la que la gente necesita que le des, y se basa en que Hardy se equivocaba.

Todos los descubrimientos matemáticos, por abstractos que sean, acaban teniendo aplicación práctica. Sin ir más lejos, la querida teoría de números del propio Hardy (que en su momento parecía totalmente inaplicable a la realidad) es hoy la base de la omnipresente criptografía asimétrica, gracias a la cual estás leyendo este blog.

Así pues, la geometría esférica tiene aplicaciones en navegación (utilísimas desde que los ibéricos empezamos a innovar en la exploración marítima en el siglo XV) y realización de mapas, por ejemplo. Hablaremos de las dos en la próxima entrada de geometría esférica.

Para terminar, os dejo con otra perla de Hardy, sacada de su libro Apología de un matemático, cuya lectura recomiendo, por ser corto y ameno y plasmar perfectamente el espíritu de las matemáticas y del esnobismo inglés.

Es una frase que, para un japonés, puede sonar a humor negro:

"Nadie ha descubierto todavía una aplicación militar para la teoría de números o la de la relatividad, y parece improbable que ésto vaya a cambiar a largo plazo".  

G. H. Hardy, 1940

                           
Fuentes y lectura recomendada:
http://ciclolimite.blogspot.com.es/2014/02/la-suma-de-angulos-internos-de-un.html
http://geometrias-no-euclideanas.blogspot.com.es/2007/09/parte-iii-las-geometras-esfrica-y.html
https://en.wikipedia.org/wiki/G._H._Hardy#Hardy.27s_aphorisms